その 1

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解答例

このような場合は赤ワインの生産量を x 樽、白ワインの生産量をy 樽として以下の式を考える。

9x+5y ≦ 50
x+5y ≦ 10
x ≧ 0, y ≧ 0
5x+10y → max

加藤家が、赤ワイン 1 樽作るために葡萄 9 トン、佐藤家が白ワインを 1 樽 作るために葡萄5 トン必要で、合計して一週間に 50 トン以下であるので9x+5y ≦ 50 となる。同様に、一週間に加藤家は 1 人でよいが、佐藤家は5 人必要であるので x+5y ≦ 10 となる。さらにx と y の値はワインの生産量であるため正の値でなければならない (x ≧ 0, y ≧ 0)。

この条件に対し赤ワインは 1 樽 5 万円で売れ、白ワインは 1 樽 10 万円で売れるので目標とする式は 5x+10y → max となる。

前半の 2 式は，1 次不等式であるため中学校程度の知識でグラフに表すことができるだろう。以下のようになる。

gnuplot> set arrow 1 from 6,2 to 5,1
gnuplot> set label 1 "(5,1)" at first 6.2,2,2
gnuplot> plot [0:10] [0:10] -0.2*x+2,-1.8*x+10

一週間で生産できる範囲はこのグラフの原点側の領域となる。最後の 5x+10y → max より max を変数 C に置き換え y=(-1/2)*x+C/10 となり、傾き -1/2 の直線を動かして、できるだけ y 切片が大きい方が求める解であることがわかる。図からわかるように 9x+5y=50 とx+5y=10 の交点 (5,1) を通り、傾き -1/2 である直線が解であることがわかる。

y - 1 = (-1/2)*(x-5)

y = (-1/2)*x+(7/2)

となる。そのため一週間の最大の利益は max=C=(7/2)*10=35 となる。つまり 35 万円であることがわかる。

しかし，これは加藤家が赤ワインを 5 樽、佐藤家も赤ワインを 1 樽作ってよい、としただけで，たまたま最大の利潤になったようにも見える．本当であろうか? これは，何を求めようとしているのであろうか?

課題

製品 A を 1 キログラム作るには原材料が5 キログラムと電力が1 kW・h 必要で、 製品 B を1 kg 作るには原材料 3 キログラムと電力が 3kW・h 必要である。 製品 A は1kg 当たり 4 千円、製品 B は1kg 当たり7 千円 の利益がある。このとき、それぞれの製品を何 kg ずつ作るのがよいか．ただし，工場全体において， 1時間当たり原材料は 21 kg、電力は 9kW・h までしか使えない。

解説