解答例 — 線形計画法

第1章 No.1 ／ 2変数の線形計画問題

このような場合は赤ワインの生産量を x 樽、白ワインの生産量を y 樽 として以下の式を考える。

• 9x + 5y ≦ 50
• x + 5y ≦ 10
• x ≧ 0, y ≧ 0
• 5x + 10y → max

加藤家が赤ワイン 1 樽作るために葡萄 9 トン、佐藤家が白ワインを 1 樽作るために葡萄 5 トン 必要で、合計して一週間に 50 トン 以下であるので 9x + 5y ≦ 50 となる。同様に、一週間に加藤家は 1 人 でよいが、佐藤家は 5 人 必要であるので x + 5y ≦ 10 となる。さらに x と y の値はワインの生産量であるため正の値でなければならない (x ≧ 0, y ≧ 0)。

この条件に対し赤ワインは 1 樽 5 万円 で売れ、白ワインは 1 樽 10 万円 で売れるので目標とする式は 5x + 10y → max となる。

図でとらえる

前半の 2 式は 1 次不等式であるためグラフに表すことができる。

gnuplot> set arrow 1 from 6,2 to 5,1
gnuplot> set label 1 "(5,1)" at first 6.2,2,2
gnuplot> plot [0:10] [0:10] -0.2*x+2,-1.8*x+10

一週間で生産できる範囲はこのグラフの原点側の領域。最後の 5x + 10y → max より max を変数 C に置き換え y = (-1/2)x + C/10 となり、傾き -1/2 の直線を動かして、できるだけ y 切片 が大きい方が求める解だとわかる。図からわかるように 9x + 5y = 50 と x + 5y = 10 の交点 (5, 1) を通り、傾き -1/2 である直線が解。

y - 1 = -1/2 · (x - 5)

y = -1/2 · x + 7/2

そのため一週間の最大の利益は max = C = (7/2) × 10 = 35 で、つまり 35 万円 であることがわかる。

しかし、これは加藤家が赤ワインを 5 樽、佐藤家も赤ワインを 1 樽 作ってよいとしただけで、たまたま最大の利潤になったようにも見える。本当だろうか? これは何を求めようとしているのだろうか?

課題