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その2

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では,問題を拡張してもう一つ制約となる要素があるとしよう。

加藤家は,赤ワインを 1 樽作るために葡萄 9 トン1 人必要で、 税金として 7 千円払わなければならない。佐藤家は白ワインを 1 樽作るために葡萄が 5 トン必要5 人必要で、税金は20 千円である。 制約は,前問と同じように葡萄は 50 トン以内、人手も 10 人以内であるが、 さらに税金も 50 千円以内におさえたいと考えている。さらに、赤ワインは1 樽 5 万円、 白ワインは 1 樽 10 万円で売れる。どのようにワインを生産したら、 全体として最大の利益をあげることができるであろうか。

解答例

前問と同じように,生産する赤ワインを x 樽,白ワインをy 樽とすると以下のような式ができる。

これらの条件をグラフに表すと以下のようになる。

gnuplot> set arrow 1 from 4.2,3.5 to 3.33,1.33
gnuplot> set arrow 2 from 6,2 to 5,1
gnuplot> set arrow 3 from 7,1 to 5.17,0.689
gnuplot> set label 1 "(10/3,4/3)" at first 4.3,4
gnuplot> set label 2 "(5,1)" at first 6.2,2.2
gnuplot> set label 3 "(150/29,20/29)" at first 7.2,1.2
gnuplot> set label 4 "m=-0.35" at 2,2.2
gnuplot> set label 5 "m=-1.8" at 3,6
gnuplot> set label 6 "m=-0.2" at 8.2,0.8
gnuplot> plot [0:10] [0:10] -0.2*x+2,-1.8*x+10,2.5-0.35*x

今度は交点が 2 つできていることがわかる。一つは (10/3,4/3) もう一つは(150/29,20/29) である。

同様に,5x+10y → max を変形した y = C/10 - (1/2)*x をグラフで考えてみると、 傾きが -0.5 の直線で,-0.35 < -0.5 < -1.8 であるため、交点 (150/29,20/29) の場合が y 切片が最大となる解であることがわかる。つまり,傾き -0.5 で,(150/29,20/29) を通る直線,

y - 20/29 = -0.5*(x - 150/29)

y = -0.5*x + (95/29)

このときの利益の最大値は max=C*10=95/29*10=950/29 となる。 つまり 950/29 万円 であることがわかる。結局,傾き -1.8 の 9x+5y ≦ 50 の式と、 傾き -0.35 の 7x+20y ≦ 50 の式に制約されて、最大値が決められたことがわかる。 その最大のときは,赤ワイン 150/29 樽、白ワイン 20/29 樽 作ればよいことがわかる。 通常は,こちらの個々の値 (x と y) が 求めたい値である.

では,次に相場が変わって,

3x+10y → max

つまり、赤ワインが 1 樽で 3 万円,白ワインは 1 樽で,同じく 10 万円とする。 赤ワインがさらに安くなった.

そうすると,max を変数 D とおいた式は,y = D/10 - (10/3)x となり,傾きが -0.3 であることがわかる。 つまり,

-0.25 < -0.3 < -0.35

であるので,この傾きで考えると y 切片が最大となるのは (10/3,4/3) であることがわかる。

このように交点が複数ある場合は、目的とする関数の傾きにより、最大値が異なることがわかる。 一般にこのように,交点が複数ある場合に,目的とする関数の傾きにより,どの交点が,最大となるかが問題となる。

あるいは,交点のときが,最大値にならない場合もある。傾きが -0.25より小さい場合や,1.8 より大きい場合は, 各々 (0,2),(50/9,0) のとき最大となる.最大値は,各々 20, 1000/9 である.求めるのは,各自の課題としよう。


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Last update: Thu Aug 15 16:27:08 PDT 2013 by yasu@i.hosei.ac.jp