一般化と多変数

第1章 No.3 ／ 線形計画法へ

はなしをまとめよう。今まで出てきた数式を以下のようにまとめてみる。

結果、最大値 35

結果、最大値 950/29

結果、最大値 70/3

3 本の制約のグラフ

最後の 2 つの数式は、同じグラフに対して計算されるので目的関数の傾きにより 最大値 が異なる。

傾きm < -1.8m = -1.8-1.8 < m < -0.35m = -0.35-0.35 < m < -0.2m = -0.2-0.2 < m ≦ 0
最大点(50/9, 0)線分(150/29, 20/29)線分(10/3, 4/3)線分(0, 2)
最大値1000/9—950/29—70/3—20

一般化された線形計画問題

以下のように一般的に書くことができる。

ここで前半の m 個の式を 制約条件、最後の 1 式を 目的関数 という。制約条件を満たす領域を 許容領域 という。最小の場合も考えられるので、

m 個の制約条件で示される領域の範囲内で、目的関数を最大 (または最小) にする場合を求めることが目的となる。

ここで、ちょっと?

疑問が生じるかもしれない。今までの数式で扱った変数は x, y などの 2 変数だったが、3 変数以上の場合はどう解くのだろう?

3 変数の場合は 3 次元の図を描けば求まることは求まるのであるが、手計算ではまず無理。実は、この問題は 線形計画法 と呼ばれ、最近ではコンピュータで簡単に解くことができる。次は Mathematica を使ってみよう。