[ つぎ | うえ ]
以下の命題を考えよう．
このように，「 」で囲まれた一つ一つを 命題 という．実は，この文章 全体も一つの命題である．ここで，使われているように，論理学では 各演算に対して，以下の記号を使う．
| 演算 | 意味 | 記号 |
| かつ | 論理積，連言 | AND, /\, ∩ |
| または | 論理和，選言 | OR, \/, ∪ |
| ～でない | 否定 | NOT, ~，￢ |
| ～ならば～ | 含意 | ⇒, ⊃ |
| 同等 | 同等 | ⇔ |
上の他に，口語ではあまり使わないが，XOR(排他的論理和) もある． 「ならば」を表現する ⊃ は，集合論で用いる「包含関係」とは無関係で あることに注意しよう．
正確には，論理学は，上のような「太郎」，「人間」といった 具体的な，「値」を代入して扱うのが目的ではなく， それらを変数 (P，Q や，X，Y など) におきかえてそれらの記号 を使った演算の体系を追求する学問(代数学)である． 無味乾燥した，記号 P，Q により表された命題に対して，実際に 「太郎」， 「人間」という値を代入することを解釈という．
「P ⊃ Q」 という命題は，「￢P ∪ Q」に等しいことが知られて いる．より具体的にそれらの関係を示すために，真理表を 定めてみよう(以下，「真」 を 「T」，「偽」を 「F」とする)． ここで P，Q を変数とする．
| P | Q | ￢P | P ∩ Q | P ∪ Q | P ⊃ Q | P XOR Q | P ⇔ Q |
| T | T | F | T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | T | F | T | F |
| F | T | T | F | T | T | T | F |
| F | F | T | F | F | T | F | T |
実は，この表は，24=16 通りあることがわかる (4 通り((P が T，Q が T)，(P が T，Q が F)，(P が F，Q が T)， (P が F，Q が F)) に対してそれぞれ，T，F になることがある) が， それら全てを使うことはない．ここでは，その 16 通り の内の， 5 通りを示したに過ぎない．
例えば，XOR(排他的論理和) は，2 度適用すると，元に戻る 論理演算として知られている．そのため，カーソルの表示の ときに用いられる。真理表を書いてみよう。
| P | Q | P XOR Q | (P XOR Q) XOR Q |
| T | T | F | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | F |
| F | F | F | F |
これより (P XOR Q) XOR Q は，P に等しいことがわかる．
もうすこし，上の真理表を眺めてみよう．例えば， 以下の命題はどうであろうか．
早速，真理表を書いてみよう．
| P | Q | R | P ⊃ Q | Q ⊃ R | (P ⊃ Q) ∩ (Q ⊃ R) | P ⊃ R | ((P ⊃ Q) ∩ (Q ⊃ R)) ⊃ (P ⊃ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F | T |
| T | F | T | F | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T | T | T | T |
これにより，命題
は，変数 P，Q，R が「真」，「偽」のどちらであっても， 必ず 「真」になることがわかる．このような命題を 恒真式 または，トートロジー(以下，トートロジーという)という． トートロジーであれば，一見複雑にみえる命題でも，「常に」真になるので， 非常に重要であることがわかる．例えば，会話の中で， 相手の意見によらず，自分の意見に引き寄せるテクニックで使っている (「かつ」，「または」などの論理演算を駆使して)ということができるだろう．
また，命題
に解釈を与えて，「P ならば Q」かつ「Q ならば R」 ならば， 「P ならば R」 と読むことができる．つまり，最初与えた命題 と同様に解釈することができることがわかる．
この命題は，「三段論法」といって，トートロジーであることが わかった．トートロジーであることがわかったらそれらの変数が 「真」，「偽」のどちらでも，常に結果が「真」であることが わかったので，常に成り立つ．
この論理では，このトートロジーが大きな役割をはたす．ここで説明した 論理を 命題論理 という．
課題
以下の式は，トートロジーかどうかを真理表を書いて調べよ．
- P ∩ P
- (P ⊃ Q) ⊃ (￢Q ⊃ ￢P)
- P ⊃ ￢￢P
- (￢P ⊃ ￢Q) ⊃ ((￢P ⊃ Q) ⊃ P)
Last update: Thu Aug 15 16:27:08 PDT 2013 by
