以下の命題を考えよう.
このように,「 」で囲まれた一つ一つを 命題 という.実は,この文章 全体も一つの命題である.ここで,使われているように,論理学では 各演算に対して,以下の記号を使う.
演算 | 意味 | 記号 |
かつ | 論理積,連言 | AND, /\, ∩ |
または | 論理和,選言 | OR, \/, ∪ |
~でない | 否定 | NOT, ~,¬ |
~ならば~ | 含意 | ⇒, ⊃ |
同等 | 同等 | ⇔ |
上の他に,口語ではあまり使わないが,XOR(排他的論理和) もある. 「ならば」を表現する ⊃ は,集合論で用いる「包含関係」とは無関係で あることに注意しよう.
正確には,論理学は,上のような「太郎」,「人間」といった 具体的な,「値」を代入して扱うのが目的ではなく, それらを変数 (P,Q や,X,Y など) におきかえてそれらの記号 を使った演算の体系を追求する学問(代数学)である. 無味乾燥した,記号 P,Q により表された命題に対して,実際に 「太郎」, 「人間」という値を代入することを解釈という.
「P ⊃ Q」 という命題は,「¬P ∪ Q」に等しいことが知られて いる.より具体的にそれらの関係を示すために,真理表を 定めてみよう(以下,「真」 を 「T」,「偽」を 「F」とする). ここで P,Q を変数とする.
P | Q | ¬P | P ∩ Q | P ∪ Q | P ⊃ Q | P XOR Q | P ⇔ Q |
T | T | F | T | T | T | F | T |
T | F | F | F | T | F | T | F |
F | T | T | F | T | T | T | F |
F | F | T | F | F | T | F | T |
実は,この表は,24=16 通りあることがわかる (4 通り((P が T,Q が T),(P が T,Q が F),(P が F,Q が T), (P が F,Q が F)) に対してそれぞれ,T,F になることがある) が, それら全てを使うことはない.ここでは,その 16 通り の内の, 5 通りを示したに過ぎない.
例えば,XOR(排他的論理和) は,2 度適用すると,元に戻る 論理演算として知られている.そのため,カーソルの表示の ときに用いられる.真理表を書いてみよう.
P | Q | P XOR Q | (P XOR Q) XOR Q |
T | T | F | T |
T | F | T | T |
F | T | T | F |
F | F | F | F |
これより (P XOR Q) XOR Q は,P に等しいことがわかる.
もうすこし,上の真理表を眺めてみよう.例えば, 以下の命題はどうであろうか.
早速,真理表を書いてみよう.
P | Q | R | P ⊃ Q | Q ⊃ R | (P ⊃ Q) ∩ (Q ⊃ R) | P ⊃ R | ((P ⊃ Q) ∩ (Q ⊃ R)) ⊃ (P ⊃ R) |
T | T | T | T | T | T | T | T |
T | T | F | T | F | F | F | T |
T | F | T | F | T | F | T | T |
T | F | F | F | T | F | F | T |
F | T | T | T | T | T | T | T |
F | T | F | T | F | F | T | T |
F | F | T | T | T | T | T | T |
F | F | F | T | T | T | T | T |
これにより,命題
また,命題
この論理では,このトートロジーが大きな役割をはたす.ここで説明した 論理を 命題論理 という.